Матч 21, Фиксированная точка (FixedPoint)

Карта Байтляндии была создана следующими тремя трансформациями:

1. Масштабирование с коэффициентом scale. Каждая точка плоскости (x, y) перешла в точку (scale*x, scale*y).

2. Сдвиг на вектор translate. Каждая точка плоскости (x, y) перешла в точку (x + translate[0], y + translate[1]).

3. Вращение на угол rotate (в радианах). Каждая точка плоскости (x, y) перешла в точку (x * cos(rotate) – y*sin(rotate), y * cos(rotate) + x*sin(rotate)).

Фиксированной называется точка, удовлетворяющая следующим условиям:

(scale * cos(rotate) – 1) * x – scale * sin(rotate) * y =

-translate[0] * cos(rotate) + translate[1] * sin(rotate)

scale * sin(rotate) * x + (scale * cos(rotate) – 1) * y =

-translate[0] * sin(rotate) – translate[1] * cos(rotate)

Решите систему и верните координаты фиксированной точки в виде вектора из двух компонент (x, y). Система всегда имеет единственное решение.

Класс: FixedPoint

Метод: vector<double> find(double scale,

vector<double> translate,double rotate)

Ограничения: address1 и address2 содержат от 0 до 50 символов ‘a’ – ‘z’, ‘A’ – ‘Z’, ‘0’ – ‘9’.

Вход. Коэффициент масштабирования scale, вектор параллельного переноса translate и угол поворота rotate.

Выход. Координаты фиксированной точки в виде вектора (x, y).

Пример входа

scale	translate	rotate
0.5	{1, 0}	1.5707963267948966
0.5	{2, 0}	0
0.5	{1, 2}	0.785398163397

Пример выхода

{-0.4, 0.8}

{4.0, 0.0}

{-2.223469992542095, 2.065452845425795}

РЕШЕНИЕ

алгебра, система линейных уравнений, метод Крамера

Обозначим:

A = (scale * cos(rotate) – 1);

B = scale * sin(rotate);

C = -translate[0] * cos(rotate) + translate[1] * sin(rotate);

D = -translate[0] * sin(rotate) - translate[1] * cos(rotate);

Остается решить методом Крамера систему линейных уравнений в действительных числах:

По условию задачи она всегда имеет единственное решение.

ПРОГРАММА

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <cmath>

using namespace std;

void kramer(double a1,double b1, double c1, double a2,double b2, double c2,

double *x, double *y)

{

double d = a1 * b2 - a2 * b1;

double dx = c1 * b2 - c2 * b1;

double dy = a1 * c2 - a2 * c1;

*x = dx / d; *y = dy / d;

}

class FixedPoint

{

public:

vector<double> find(double scale, vector<double> translate, double rotate)

{

vector<double> res(2);

double A = (scale * cos(rotate) - 1);

double B = scale * sin(rotate);

double C = -translate[0] * cos(rotate) + translate[1] * sin(rotate);

double D = -translate[0] * sin(rotate) - translate[1] * cos(rotate);

kramer(A,-B,C,B,A,D,&res[0],&res[1]);

return res;

}

};