936. Формулы Крамера

Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Система уравнений, приведенная во входных данных, имеет вид:

Вход. Первая строка содержит коэффициенты первого уравнения, а вторая строка содержит коэффициенты второго. Все входные числа разделены одним пробелом и не превышают 100 по модулю.

Выход. Первый корень системы уравнений вывести в первой строке, а второй корень во второй строке с точностью до 0.001.

Пример входа	Пример выхода
5 8 11 -3 6 15	-1.000 2.000

РЕШЕНИЕ

алгебра - правило Крамера

Анализ алгоритма

Определителем называется число, равное

= a * d – b * c

Рассмотрим систему уравнений:

Помножим первое уравнение на b₂, а второе на b₁:

Вычтем из первого уравнения второе:

(a₁b₂ – a₂b₁) x = c₁b₂ – c₂b₁

Или то же самое что

x =

Аналогично в исходной системе первое уравнение умножим на a₂, а второе на a₁:

Вычтем из второго уравнения первое:

(a₁b₂ – a₂b₁) y = a₁c₂ – a₂c₁

Или то же самое что

y =

Обозначим

d = , d_x = , d_y =

Тогда решение системы уравнений можно записать в виде:

x = , y = , d ¹ 0

Пример

Рассмотрим систему уравнений . Для нее имеем:

d = = 5*6 + 3*8 = 54,

d_x = = 11*6 – 15*8 = -54, d_y = = 5*15 + 3*11 = 108,

откуда

x = -54 / 54 = -1, y = 108 / 54 = 2

Реализация алгоритма

Функция kramer решает систему линейных уравнений методом Крамера. Корни системы возвращаются в переменных x и y.

int kramer(double a1, double b1, double c1,

double a2, double b2, double c2, double &x, double &y)

{

double d = a1 * b2 - a2 * b1;

double dx = c1 * b2 - c2 * b1;

double dy = a1 * c2 - a2 * c1;

При d = 0 прямые параллельны.

· Если dx = 0 (при этом будет и dy = 0), то прямые совпадают, возвращаем 2.

· Если dx ≠ 0 (при этом будет и dy ≠ 0), то прямые не совпадают (не имеют общих точек), возвращаем 1.

if (d == 0) return (dx == 0.0) + 1;

При d ≠ 0 система имеет единственное решение, которое вычисляем в паре (x, y). В этом случае возвращаем 0.

x = dx / d; y = dy / d;

return 0;

}

Основная часть программы. Читаем входные данные.

scanf("%lf %lf %lf",&a1,&b1,&c1);

scanf("%lf %lf %lf",&a2,&b2,&c2);

Решаем систему уравнений и выводим ответ.

kramer(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y);

printf("%.3lf\n%.3lf\n",x,y);

Java реализация

import java.util.*;

public class Main

{

static double[] kramer(double a1, double b1, double c1,

double a2, double b2, double c2)

{

double res[] = new double[3]; // type, x, y

double d = a1 * b2 - a2 * b1;

double dx = c1 * b2 - c2 * b1;

double dy = a1 * c2 - a2 * c1;

if (d == 0)

{

if (dx == dy && dx == 0.0) res[0] = 2;

else res[0] = 1;

}

else

{

res[1] = dx / d;

res[2] = dy / d;

res[0] = 0;

}

return res;

}

public static void main(String []args)

{

Scanner con = new Scanner(System.in);

double a1 = con.nextDouble();

double b1 = con.nextDouble();

double c1 = con.nextDouble();

double a2 = con.nextDouble();

double b2 = con.nextDouble();

double c2 = con.nextDouble();

double res[] = kramer(a1,b1,c1,a2,b2,c2);

System.out.println(res[1] + "\n" + res[2]);

con.close();

}

}